Достаточно часто в курсе математического анализа можно встретить задание со следующей формулировкой: «исследовать функцию и построить график» . Данная формулировка говорит сама за себя и разбивает задачу на два этапа:
- Этап 1: исследование функции;
- Этап 2: построение графика исследуемой функции.
Первый этап наиболее объемный и включает в себя отыскание областей определения и значений, экстремумов функции, точек перегиба графика и т.д.
Полный план исследования функции $y=f(x)$, предваряющий цель построение графика, имеет следующие пункты:
- Поиск области определения функции $D_{y} $ и области допустимых значений $E_{y} $ функции.
- Определение вида функции: четная, нечетная, общего вида.
- Определение точек пересечения графика функции с осями координат.
- Нахождение асимптот графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).
- Нахождение интервалов монотонности функции и точек экстремума.
- Нахождение промежутков выпуклости, вогнутости графика и точек перегиба.
Поиск области определения функции $D_{y} $ подразумевает нахождение интервалов, на которых данная функция существует (определена). Как правило, данная задача сводится к отысканию ОДЗ (область допустимых значений), на основании которых формируется $D_{y} $.
Пример 1
Найти область определения функции $y=\frac{x}{x-1} $.
Найдем ОДЗ рассматриваемой функции, т.е. значения переменной, при которых знаменатель не обращается в ноль.
ОДЗ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$
Запишем область определения: $D_{y} =\{ x\in R|x\ne 1\} $.
Определение 1
Функция $y=f(x)$ является четной в случае, если выполняется следующее равенство $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_{y} $.
Определение 2
Функция $y=f(x)$ является нечетной в случае, если выполняется следующее равенство $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_{y} $.
Определение 3
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.
Пример 2
Определить вид функций: 1) $y=\frac{x}{x-1} $, 2) $y=\frac{x^{2} }{x^{2} -1} $; 3) $y=\frac{x}{x^{2} -1} $.
1) $y=\frac{x}{x-1} $
$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, следовательно, имеем функцию общего вида.
2) $y=\frac{x^{2} }{x^{2} -1} $
$f(-x)=f(x)$, следовательно, имеем четную функцию.
3) $y=\frac{x}{x^{2} -1} $.
$f(-x)\ne -f(x)$, следовательно, имеем нечетную функцию.
Определение точек пересечения графика функции с осями координат включает нахождение точек пересечения: с осью ОХ ($y=0$), с осью OY ($x=0$).
Пример 3
Найти точки пересечения с осями координат функции $y=\frac{x+2}{x-1} $.
- с осью ОХ ($y=0$)
$\frac{x+2}{x-1} =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; получаем точку (-2;0)
- с осью ОY ($x=0$)
$y(0)=\frac{0+2}{0-1} =-2$, получаем точку (0;-2)
На основе результатов, полученных на этапе исследования функции, строится график. Иногда для построения графика функции недостаточно точек, полученных на первом этапе, тогда необходимо найти дополнительные точки.
Пример 4
Исследовать функцию и построить ее график: $y=x^{3} -6x^{2} +2x+1$.
- Область определения: $D_{y} =\{ x|x\in R\} $.
- Область значений: $E_{y} =\{ y|y\in R\} $.
- Четность, нечетность функции :\ \
Функция общего вида, т.е. не является ни четной, ни нечетной.
4) Пересечение с осями координат:
с осью OY: $y(0)=0^{3} -6\cdot 0^{2} +2\cdot 0+1=1$, следовательно, график проходит через точку (0;1).
с осью OХ: $x^{3} -6x^{2} +2x+1=0$ (рациональных корней нет)
5) Асимптоты графика:
Вертикальных асимптот нет, так как $D_{y} =\{ x|x\in R\} $
Наклонные асимптоты будем искать в виде $y=kx+b$.
$k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{y(x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -6x^{2} +2x+1}{x} =\infty $. Следовательно, наклонных асимптот нет.
6) Возрастание, убывание функции; экстремумы:
\ \[\begin{array}{l} {y"=0\Rightarrow 3x^{2} -12x+2=0} \\ {D=144-24=120} \\ {x_{1,2} =\frac{12\pm \sqrt{120} }{6} } \end{array}\]
Отметим точки на числовой оси, расставим знаки первой производной и отметим поведение функции:
Рисунок 1.
Функция возрастает на $\left(-\infty ;\frac{12-\sqrt{120} }{6} \right]$ и $\left[\frac{12+\sqrt{120} }{6} ;\infty \right)$, убывает на $\left[\frac{12-\sqrt{120} }{6} ;\frac{12+\sqrt{120} }{6} \right]$.
$x=\frac{12-\sqrt{120} }{6} $ - точка максимума; $y\left(\frac{12-\sqrt{120} }{6} \right)=1,172$
$x=\frac{12+\sqrt{120} }{6} $ - точка минимума; $y\left(\frac{12+\sqrt{120} }{6} \right)=-23,172$
7) Выпуклость, вогнутость графика:
\ \[\begin{array}{l} {y""=(3x^{2} -12x+2)"=6x-12} \\ {y""=0\Rightarrow 6x-12=0\Rightarrow x=2} \end{array}\]
Отметим точки на числовой оси, расставим знаки второй производной и отметим поведение графика функции:
Рисунок 2.
График направлен выпуклостью вверх на $(-\infty ;2]$, вниз на $
8) График функции:
Рисунок 3.
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Точки разрыва. (Если они имеются).
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба.(Если они имеются).
Асимптоты.(Если они имеются).
Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки .
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < -,y < 0, кривая выпуклая
- 1 < x
< 0, y
> 0, кривая вогнутая 0 < x
< 1, y
< 0, кривая выпуклая 1 < x
<
,y
> 0, кривая вогнутая < x
< ,
y
> 0, кривая вогнутая Находим
промежутки возрастания
и убывания
функции. Для этого определяем знаки
производной функции на промежутках. -
< x
< -,y
> 0, функция возрастает - 1 < x
< 0, y
< 0, функция убывает 0 < x
< 1, y
< 0, функция убывает 1 < x
<
,y
< 0, функция убывает < x
< ,
y
> 0, функция возрастает Видно,
что точка х = -является точкоймаксимума
,
а точка х =
является точкойминимума
.
Значения функции в этих точках равны
соответственно 3/2
и -3/2. Про
вертикальные асимптоты
было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные
асимптоты
. Итого,
уравнение наклонной асимптоты – y
= x. Построим
график
функции: Ниже
рассмотрим несколько примеров исследования
методами дифференциального исчисления
различных типов функций. Пример:
Методами дифференциального исчисления 1. Областью
определения данной функции являются
все действительные числа (-;
). 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Оу: x
= 0; y
= 1; с осью Ох: y
= 0; x
= 1; 4. Точки
разрыва и асимптоты: Вертикальных
асимптот нет. Наклонные
асимптоты: общее уравнение y
= kx
+ b; Итого:
у = -х – наклонная асимптота. 5.
Возрастание и убывание функции, точки
экстремума. Видно, что у
0 при любом х
0, следовательно, функция убывает на
всей области определения и не имеет
экстремумов. В точке х = 0 первая производная
функции равна нулю, однако в этой точке
убывание не сменяется на возрастание,
следовательно, в точке х = 0 функция
скорее всего имеет перегиб. Для нахождения
точек перегиба, находим вторую производную
функции. y
= 0 при х =0 и y
=
при х = 1. Точки
(0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к.
y(1-h)
< 0; y(1+h)
>0; y(-h)
> 0; y(h)
< 0 для любого h
> 0. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. 1. Областью
определения функции являются все
значения х, кроме х = 0. 2. Функция
является функцией общего вида в смысле
четности и нечетности. 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Ох: y
= 0; x
=
с осью Оу: x
= 0; y
– не существует. 4. Точка
х = 0 является точкой разрыва
,
следовательно, прямая х = 0 является
вертикальной асимптотой. Наклонные
асимптоты ищем в виде: y
= kx
+ b. Наклонная
асимптота у = х. 5. Находим
точки экстремума функции. ;
y
= 0 при х = 2, у
=
при х = 0. y
> 0 при х
(-,
0) – функция возрастает, y
< 0 при х
(0, 2) – функция убывает, у
> 0 при х
(2, )
– функция возрастает. Таким
образом, точка (2, 3) является точкой
минимума. Для
определения характера выпуклости/вогнутости
функции находим вторую производную. > 0 при любом х
0, следовательно, функция вогнутая на
всей области определения. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. Областью
определения данной функции является
промежуток х
(-,
). В
смысле четности и нечетности функция
является функцией общего вида. Точки
пересечения с осями координат: с осью
Оу:
x = 0, y = 0; с
осью Ох: y
= 0, x
= 0, x
= 1. Асимптоты
кривой. Вертикальных
асимптот нет. Попробуем
найти наклонные асимптоты в виде y
= kx
+ b. Находим
точки экстремума. Для
нахождения критических точек следует
решить уравнение 4х 3
– 9х 2
+6х –1 = 0. Для
этого разложим данный многочлен третьей
степени на множители. Подбором
можно определить, что одним из корней
этого уравнения является число х = 1.
Тогда: 4x 3
– 9x 2
+ 6x
– 1 x
- 1
4x 3
– 4x 2
4x 2
– 5x
+ 1 Тогда
можно записать (х – 1)(4х 2
– 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две
критические точки: x
= 1 и x
= ¼. Примечание.
Операции деления многочленов можно
было избежать, если при нахождении
производной воспользоваться формулой
производной произведения: Найдем
вторую производную функции: 12x 2
– 18x
+ 6. Приравнивая к нулю, находим: Систематизируем
полученную информацию в таблице: вып. вниз возрастает вып. вниз возрастает вып.вверх возрастает вып. вниз Построим
график функции. Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos
. Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру. С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.
- наклонных
асимптот не существует.
Построить функцию
Преимущества построения графиков онлайн